선형회귀분석 밑바닥부터 이해하기

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상관관계와 상관계수

1. 들어가며

두 연속형 변수 X, Y에서 X가 변함에 따라 Y가 어떻게 변하는지 분석한다면 Y는 결과변수(반응변수)로 부르고 X는 설명변수(독립변수)로 부른다. 회귀 분석은 결과변수와 설명변수의 관계를 선형(linear)으로 분석하는 방법이다. 설명변수가 하나일 때는 단순회귀분석 둘 이상일 때는 다중회귀라고 부른다. 

 

2. 상관관계와 회귀분석

상관계수(관련글 : 상관관계와 상관계수) 를 통해 두 연속형 변수의

• 관계 유무
• 관계 방향성
• 관계 강도

파악하는 방법을 살펴보았다. 회귀분석을 이용하면 상관분석에 비해 더 많은 정보를 얻을 수 있다. 구체적으로 다음 2가지다. 

• ① X(설명변수)를 이용해 Y(결과변수)를 추정할 수 있다.
• ② X를 이용해 Y를(Y의 변동성) 설명할 수 있다.

②의 의미를 조금 더 생각해보자. Y의 값이 개별 데이터가 모두 다를 때, 즉 데이터에 변동성이 있을 때 이 변동성을 X를 통해 설명할 수 있다는 의미이다. <그림 1>을 살펴보자. 

 

[그림 1] 성적 분포 차이

 

왼쪽 그래프에서 보이는 것처럼 성적에 차이가 있다. X가 세 학생의 머리 크기라고 하면 학생의 머리 크기 차이는 작다. 게다가 머리크기 차이 마저도 세 학생의 성적 증가 방향과 일치 하지 않는다. 즉 철이는 영희보다 머리가 작지만 성적이 높고 민주는 영희보다 머리가 크지만 성적은 높다. 차이의 방향성이 일관적이지 않은 것이다. 

 

반면 X가 공부시간이면 성적 차이는 공부시간 차이와 유사한 패턴을 보인다. 세 학생의 성적 차이를 세 학생의 공부시간차이로 설명할 수 있다. 어떤 현상(성적 차이)을 설명할 때 주어진 데이터(공부 시간)를 이용하는 것이다.

 

만약 성적, 머리 크기, 공부 시간이라는 데이터만 있다면 머리 크기는 성적의 변동성을 설명할 수 없지만 공부 시간은 어느정도 설명할 수 있다. 이렇게 한 변수의 변동성을 다른 변수의 변동성으로 설명하는 분석 방법이 회귀 모델이다. X와 Y의 관계를 설명할 수 있다면 X를 통해 Y를 추정할 수 있으므로 사실상 ①과 ②는 같은 의미이다. 단지 어디에 초점을 두느냐가 다르다. 

 

3. 선형회귀모델

<그림 2>는 X, Y 데이터의 선형 회귀 모델을 나타낸 것이다. 빨간 대각선은 일차 방정식 Y = aX + b로 표현할 수 있고 이 함수가 선형 회귀 모델이다. 회귀 모델에서 X의 값이 주어지면 Y의 값을 예측할 수 있고 X앞에 붙은 a(기울기)를 통해 X가 한 단위 변할 때 Y가 얼마나 변하는지 추정할 수 있다.

 

[그림 2] 선형회귀 모델

 

그런데 <그림 2>처럼 X, Y의 관계를 하나의 대각선으로 표현할 수 있다면 그 선은 어떻게 결정할까요? 그림 <3>와 같이 X, Y의 데이터 분포에서 무수히 많은 대각선을 그을 수 있다. 결론부터 말하자면 여러 대각선 중에서 X, Y 데이터에 가장 적합한(fitted), 다른 말로 X, Y의 관계를 가장 잘 대표하는 선을 선택한다. 가장 적합한 선(모델)을 선택하는 일반적인 방법으로 최소제곱법(OLS : ordinary least squares)이 있다. 

 

[그림 3] 데이터를 표현하는 무수히 많은 선형회귀선

 

4. 최적 선형회귀모델 선택

 <그림 4>와 같이 회귀선으로 예측한 값과 실제 데이터의 값에 차이가 있을 때 이 값을 잔차(residuals)라고 하고 각 잔차 값을 제곱하고 모두 더한 것을 잔차제곱합(RSS : Residual sum of squares)이라고 한다. 

 

[그림 4] 회귀모델과 잔차

 

잔차제곱합이 작다는 것은 실제 값과 회귀 모델로 예측한 값의 차이가 작다는 의미이며, X, Y의 관계를 오차가 적도록 가장 잘 대표한다고 볼 수 있다. 이렇게 잔차제곱합이 가장 작은 선을 선형 회귀 모델로 선택한다. 회귀 모델(대각선)을 결정한다는 말은 Y = aX + b라는 회귀선의 a, b를 결정한다는 말이다. 

 

5. 회귀모델 진단

 

회귀모델을 만들었다면 모델의 통계적 유의성에 대해 따져보아야 한다. 먼저 통계적 유의성에 대해 살펴보자. 표본 데이터의 X, Y 관계가 모집단에서도 동일한지 추정하려고 할 때를 생각해보자. <그림 5>에서 왼쪽은 모집단에서 X, Y의 관계이며 오른쪽은 모집단에서 추출한 표본 데이터의 x, y 관계이다.

 

[그림 5] 회귀모델의 통계적 유의성

 

왼쪽 모집단에서 X, Y의 관계는 상관계수가 0에 가깝고 오른쪽 표본에서 x, y 관계는 뚜렷한 양의 상관관계가 보인다. 무작위 추출이라면 이렇게 편향적으로 추출될 확률은 매우 낮지만 어쨌든 가능성이 0%는 아니다. 이 경우 오른쪽 표본으로 구한 회귀 모델로 모집단을 추정하면 오류가 발생할 것이다. 그런데 우리가 갖고 있는 데이터는 오른쪽에 있는 표본 데이터이고 왼쪽의 모집단 데이터는 모른다. 모집단을 모르기 때문에 현재 모델이 오류가 있는지는 알 수 없고 단지 어느 정도의 확률로 모델에 오류가 있을 가능성을 열어 둘 뿐이다. 

 

회귀식으로 표현하자면 Y = aX + b에서 a = 0 일 가능성을 따져보는 것이다. 회귀식에서 a는 회귀계수이며 회귀계수는 t검정을 통해 통계적 유의성을 검정한다. 

 

6. 회귀모델의 성능 

일반적으로 회귀모델의 성능은 결정계수(R^2)으로 측정한다. 결정계수는 아래 관련글을 참고하기 바란다. 

 

 

결정계수(R^2)의 이해

회귀진단

로지스틱회귀와 친구되기(1)