t검정과 ANOVA의 연결

1. 들어가며

두 집단의 평균 차이를 비교할 때는 t검정(t-test) 을, 세 집단 이상의 평균을 비교할 때는 분산분석(ANOVA) 을 쓴다고 배운다.

그럼 이런 의문이 생긴다:

“두 집단일 때 ANOVA 써도 되지 않나요?”
“t검정과 ANOVA는 완전히 다른 건가요, 아니면 연결돼 있는 건가요?”

 

정답은: t검정과 ANOVA는 수학적으로 같은 방법에서 출발한다. 즉, 두 집단 비교에서는 t검정이나 ANOVA를 해도 같은 결론이 나온다.
이번 글에서는 이 둘이 어떻게 연결되어 있는지를 쉽고 정확하게 풀어보자.

2. 핵심 요약:

구분	t검정	ANOVA
집단 수	2개	2개 이상 (3개 이상이 일반적)
비교 기준	평균의 차이	평균 간 분산의 차이
출력	t값, p값	F값, p값
연결성	F = t² (두 집단일 때)	t² = F (두 집단일 때)

 

3. 같은 데이터, 다른 이름

예를 들어 다음과 같은 두 집단이 있다고 하자:

• A집단 평균: 50, 표준편차: 5
• B집단 평균: 55, 표준편차: 5
• 표본 수: 각 10명

이때 독립표본 t검정을 하면 t값이 나오고, p값을 통해 유의한 차이 여부를 확인한다. 그런데 같은 데이터를 가지고 ANOVA를 하면 F값이 나오는데, 놀랍게도

$$ F= t^2 $$

즉, 두 집단 비교에서는 t검정과 ANOVA가 본질적으로 같은 테스트다. 단지 계산 방식과 출력값이 다를 뿐, 결론은 같다.

4. 수학적으로 이해하기

독립표본 t검정의 식:

$$ t= \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{S_p^2 \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)}} $$

여기서 Sp2S_p^2는 두 집단의 공통 분산(풀드 분산)

분산분석(ANOVA)의 F통계량:

$$F= \frac{\text{집단간 분산 (MSB)}}{\text{집단내 분산 (MSW)}}$$

두 집단일 때는 집단간 분산과 평균 차이가 연결되고,
수식을 정리하면 결국:

$$F= t^2$$

5. 언제 어떤 걸 써야 할까?

상황	추천방법	이유
정확히 2집단	t검정	계산 간단, 직관적 해석
3집단 이상	ANOVA	다중 비교 시 오류 증가 방지
2집단이지만 다른 방법과 비교하려는 경우	ANOVA도 가능	모델 비교, 분산 설명 등 가능

 

즉, 두 집단이면 t검정이 간편하고, 세 집단 이상이면 무조건 ANOVA가 더 적합하다.

6. 왜 t검정을 여러 번 하면 안 되는가?

세 집단(A, B, C)이 있을 때:

• A vs B
• A vs C
• B vs C

이렇게 3번 t검정을 하면 될 것 같지만, 문제는 오류 누적이다. 각 t검정에서 5%의 오류가 허용되니, 세 번 하면 총 오류 가능성이 15%로 늘어난다. 그래서 한 번에 전체 차이를 평가하는 ANOVA가 필요한 것.

7. 마치며

t검정과 ANOVA는 서로 다른 도구가 아니라 같은 원리의 확장 버전이다.

• 두 집단일 때는 t검정이나 ANOVA나 같은 결론
• 세 집단 이상에서는 ANOVA로 전체 차이를 보고 → 사후분석(post-hoc)으로 세부 차이 확인

이제 두 방법이 왜 연결돼 있고, 언제 어떤 걸 써야 하는지 분명해졌을 것이다.