2. 이분형 문항 반응 특성 곡선 원리

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1. 문항반응이론(IRT) 개요

1. 들어가며

이분형 문항 반응(dichotomous response)이란 문제(문항)에 대한 응답 범주가 2가지라는 의미다. 어떤 문제의 정오답 데이터가 전형적인 이분형 문항 반응이다. 

어떤 사람이 어떤 문항(문제)를 맞출 확률은 2가지 요소에 의해 결정된다. 

하나는 문제의 난이도이고, 다른 하나의 문제를 푸는 사람의 능력이다. 즉 능력과 난이도의 함수이다. 

 

<그림 1>은 세 문제(P1, P2, P3)의 난이도와 푸는 사람의 능력(θ)을 동일 선상에 배치한 그림이다. 

[그림 1] 문제의 난이도와 능력치

만약 능력치가 0인 사람이 문제(P3)을 풀면 능력에 비해 어려운 문제이므로 맞을 확률이 낮을 것이다. 

반면 문제(1)을 풀면 능력에 비해 쉬운 문제이므로 맞을 확률이 높을 것이다. 

그렇다면 문제(P2)를 풀게 하면 어떻게 될까? 능력과 문제의 난이도 같기 때문에 틀리고 맞을 확률이 5:5가 된다. 

 

이런 원리를 다음과 같이 해석할 수 있다. 

• (능력치 - 문제의 난이도) = 0 이면 해당 문제를 맞을 확률 = 50%
• (능력치 - 문제의 난이도) > 0 이면 해당 문제를 맞을 확률 > 50%
• (능력치 - 문제의 난이도) < 0 이면 해당 문제를 맞을 확률 < 50%
• (능력치 - 문제의 난이도) 가 클수록 맞을 확률도 급격히 커진다. 
• (능력치 - 문제의 난이도) 가 작을 수록 맞을 확률도 급격히 작아진다. 

위와 같은 이런 성질을 만족하는 전형적인 함수가 시그모드 그래프다. 

 

2. 1PL 모델 수식 형성 원리

[그림 2] 시그모이드 함수와 식

위의 시그모이드 그래프에서 X축 값이 커지면 Y도 급격히 커지고 X가 작아지면 Y도 급격히 낮아진다.

그래프에서 X = (능력치 - 문제의 난이도) 라고 하면 X가 커질 수록, 즉 능력이 문제의 난이도보다 높을 수록 문제를 맞을 확률, P(x)가 급격히 커진다.  또한 (능력치 - 문제의 난이도) = 0 이면, 즉 능력과 문제의 난이도가 동일하다면 

e0  = 1 이 성립하므로 P(x) = 1/2 = 0.5가 됨을 알 수 있다.  

 

그래프의 특성은 수식과 이렇게 연결된다. 

• X = (능력치 - 문제 난이도) 값이 커지면 식의 분자가 작아져 P(x)는 커진다. 
• X = (능력치 - 문제 난이도) 값이 작아지면 식의 분자가 커져 P(x)는 작아진다. 

여기에서 X를 능력치(θ) - 문제 난이도(δ)로 표현하면 X = θ - δ로 바꿔 쓸 수 있고 이 X를 위의 식에 대입하면 전형적인 이분형 문항 반응 모델 1PL 모델 수식이 성립한다. 

 

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3. 이분형(dichotomous) 문항 1PL 모델 분석

 

Reference
The theory and Practice of Item Response Theory, de Ayala