F분포 어디에 쓰일까?

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카이제곱 분포

1. 들어가며

당연한 말이지만 F분포는 F값의 확률분포라는 의미다. 그럼 F값이 무엇인지부터 알아야 한다. 2개의 확률변수 X, Y에 대해 각 확률변수를 다음과 같이 정의한다. 

 

위의 식1, 식2에서 X, Y는 카이제곱 값을 자유도로 나눈 형태다.

 

※관련글

자유도(Degree of Freedom)에서 자유로워 지기

 

이때 F값은 X와 Y의 비율로 정의한다. 

 

2. F값 분해하기

 

이 시점에서 아마도 X, Y, F를 왜 저렇게 정의하고 도대체 무슨 의미가 있는 것인지 궁금해진다. 마지막 단계에서 의문점이 해결되므로 일단은 설명을 차근차근 따라가보자. 위의 <식 1>에서 X의 분자인 카이제곱값만 따로 떼어 살펴보자.

 

 

위 식에서 확률변수 X값들이 같은 모집단에서 추출되었다고 가정하면, 즉 평균(μ)과 표준편차(σ)가 같다면 평균(μ)과 표준편차(σ)를 아래첨자로 구분할 필요가 없으므로 <식 3>은 <식 4> 표현할 수 있다.

계속 비슷한 형태의 개별 값을 더하므로 시그마를 이용해 표현하다. Y의 분자도 마찬가지로 생각할 수 있다. 그러면 X, Y를 구분하기 위해 식을 고쳐 써 보자.

위의 각 식을 F값을 정의하는 식에 대입하면 아래와 같다.

 

 

이제 거의 다 왔다. 마지막으로 한번 더 가정하자. X와 Y가 동일한 모집단에서 추출한 확률변수라면, 즉 평균(μ)과 표준편차(σ)가 같다면 평균(μ)과 표준편차(σ)를 아래첨자로 구분할 필요가 없으므로 F식은 다음과 같이 변형된다.

 

 

위 식에서 분자와 분모에 있는 1/σ^2를 약분할 수 있으므로 식은 최종적으로 아래와 같이 정리할 수 있다.

 

 

3. F값 이해하기

 

위의 식에서 분자와 분모를 뚫어지게 쳐다 보자. 분자와 분모는 바로 X, Y 데이터의 분산입니다. 정확하게는 말하자면 불편분산인데 불편분산은 분모가 자유도라는 일반적인 분산식과의 차이점이다. 

 

최종적으로 식을 정리하면 결국 F는 동일한 모집단에서 추출한 두 확률변수 집단의 분산 비율이다. F는 비율(나눗셈)이므로 음수 값은 없고 양수만 있다. 카이제곱분포와 마찬가지로 자유도에 따라 모양이 달라지며 모양을 결정하기 위해 두 개의 자유도가 필요하다. 

 

출처 :&nbsp;https://www.boost.org/doc/libs/1_49_0/libs/math/doc/sf_and_dist/html/math_toolkit/dist/dist_ref/dists/f_dist.html

 

4. F분포의 활용

 

그럼 F분포는 어디에 쓰일까? 위에서 수식을 정리할 때 계속 데이터가 “동일한 모집단에서 추출된 확률변수라는 가정”을 이용했다. 이 말은 두 개의 데이터 집단이 동일한 모집단에서 추출되었다면 추출한 데이터로부터 계산한 F값이 F분포를 따라야 한다는 말이다. 만약 F분포를 안 따른다면 두 개의 집단은 동일한 모집단에서 추출된 것이 아니라고 생각하는 것이 통계적 사고다. 결국 여러 데이터 집단이 동일한지 아닌지, 구체적으로는 평균이 같은지 아닌지를 검정하기 위해(분산분석) F분포를 이용할 수 있다.